Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ (Phần 3)

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích

1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = \dfrac{9}{4},\,\,(1)$$
Lời giải
ĐK : $x \geq - \dfrac{3}{2} $.
Đặt $\sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = t , t \geq 0 $ phương trình $(1)$ trở thành :
$$(t^2 - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4} – t \Leftrightarrow t(t^3 - 3t + 1) = 0 \Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l} t = 0 \\ t^3 - 3t + 1 = 0,\,\, (2) \\ \end{array} \right.$$
$(2)$ giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt $x = 2cost , t \in (0 ; \pi)$ để đưa về dạng : $cos3t = - \dfrac{1}{2}$

Tổng quát: Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + a} = a^2$$
Với $a$ là hắng số cho trước .

Ví dụ 16: Giải phương trình:
$$x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} =6x,\,\, (1)$$
Lời giải:
ĐK : $x \geq - 2$
Viết lại $(1)$ dưới dạng :
$$x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0,\,\,(2)$$
Đặt $t = \sqrt{x + 2} \geq 0 $. Khi đó $(2)$ trở thành :
$$x^3 - 3xt^2 + 2y^3 \Leftrightarrow (x - t)^2(x + 2t) = 0$$
Do vậy $x = t$ hoặc $x = -2t$
*$x = t $. Ta có :
$$x = \sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$$
*$ x = -2t$ . Ta có :
$$x = - 2\sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \leq 0 \\ x^2 - 4x - 8 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt{3}$$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Ví dụ 17: Giải phương trình:
$$x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [1 ; 6],\,\,\ (1)$
Đặt $t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0,\ \ \ (2)$ phương trình đã cho trở thành :
$$t^2 + \sqrt{5 + t} = 5 ,\ \ \ (3)$$
$$\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0 \Leftrightarrow (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0$$
Đối chiếu với hai điều kiện $(1)$ và $(2)$ thay vào và giải ra :
$$x = \dfrac{11 - \sqrt{17} }{2}$$

Ví dụ 18: Giải phương trình:
$$x = \left (2006 + \sqrt{x} \right )\left (1 - \sqrt{1 - \sqrt{x}} \right )$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [0 ; 1],\ \ \ \ (1)$
Đặt $t = \sqrt{1 - \sqrt{x} }\Rightarrow 0 \leq t \leq 1$. Khi đó:
$$\sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2 $$
phương trình đã cho trở thành :
$$(1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2$$
$$\Leftrightarrow (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2 \Leftrightarrow 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003)$$
Vì $0 \leq t \leq 1$ nên: $t^2 + t - 1003 < 0$
Do đó phương trình tương đương với :
$$t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$$
Do vậy $x = 0$ (thỏa $(1)$)

2. Dùng 2 ẩn phụ.
Ví dụ 9: Giải phương trình
$$\sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3$$
Lời giải
Đặt $ a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1}$
$$\Rightarrow a^2 - b^2 = 9x – 3 \Rightarrow a - b = a^2 - b^2 \Leftrightarrow (a - b)(a + b - 1) = 0$$
*$ a - b = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}$
*$ a + b - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = 9x - 3 \\ 2a = 9x - 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{{56}}{{65}} \\ \end{array} \right.$

Ví dụ 20: Giải phương trình
$$2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8},\ \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ - 2 \leq x \leq 1$ hoặc$ x \geq 2$
Đặt $ u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2}$ ta có :
$$ u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 .$$
$(1)$ trở thành :
$$ 2(u^2 - v^2) = 3uv \Leftrightarrow (2u + v)(u - 2v) = 0 \Leftrightarrow u = 2v$$
(Do $ 2u + v > 0$)
Để tìm $x$, ta giải :
$$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2} \Leftrightarrow x^2 - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{13}$$
Kết hợp với điều kiện, phương trình $(1)$ có 2 nghiệm : $ x = 3 \pm \sqrt{13}$

Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ x \geq 5$
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$
$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$
Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:
$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$
* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$
* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

Ví dụ 22: Giải phương trình
$$\sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}$$
Lời giải:
ĐK : $ 0 \leq x \leq 1$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt[4]{x} \\ v = \sqrt[4]{{1 - x}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u \ge 0 \\ v \ge 0 \\ u^4 + v^4 = 1 \\ \end{array} \right.$
Từ phương trình ta được :
$$ u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v$$
$\Leftrightarrow (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0$

$\Leftrightarrow (u - v)(1 - u - v) = 0 $( Do $ u + v > 0$)

từ đó ta giải ra được các nghiệm :$ x = 0 , x = \dfrac{1}{2} , x = 1 $

3. Dùng 3 ẩn phụ.
Ví dụ 23: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} = 2$$
Lời giải:
Đặt $ a = \sqrt[3]{7x + 1} , b = - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} , c = \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1}$, ta có:
$$ a + b + c = 2$$
$$ a^3 + b^3 +c^3 = (7x + 1) - (x^2 - x - 8) + (x^2 - 8x - 1) = 8,\ \ \ (1)$$
Mặt khác: $ (a + b +c)^3 = 8,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 +c^3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)$$
Nên:
$$ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - b \\ b = - c \\ c = - a \\ \end{array} \right.$$
Từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình: $ S = {- 1 ; 0 ; 1 ; 9}$

Ví dụ 24: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{3x + 1} + \sqrt[3]{5 - x} + \sqrt[3]{2x - 9} - \sqrt[3]{4x - 3} = 0, \ \ \ (1)$$
Lời giải:
Đặt $ a = \sqrt[3]{3x + 1} ; b = \sqrt[3]{5 - x} ; c = \sqrt[3]{2x - 9}$ Suy ra:
$$ a^3 + b^3 + c^3 = 4x - 3$$
khi đó từ $(1)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 +c^3) \Leftrightarrow (a + b)(b + c)(c + a) = 0$$
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình: $ x = -3 ; x = 4 ; x = \dfrac{8}{5}$

Theo diendantoanhoc.net